Площадь треугольника зная высоту и основание. Как рассчитать площадь треугольника? Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

Можно найти, зная основание и высоту . Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a 1 и a 2 , а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника , площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:

Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника : Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.

Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.

Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.

Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению

Определение треугольника

Треугольник - это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.

Онлайн-калькулятор

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac{1}{2}\cdot a\cdot h S = 2 1 ​ ⋅ a ⋅ h ,

A a a - основание треугольника;
h h h - высота треугольника, проведенная к данному основанию a.

Пример

Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).

Решение

A = 10 a=10 a = 1 0
h = 5 h=5 h = 5

Подставляем в формулу для площади и получаем:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot 5=25 S = 2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (см. кв.)

Ответ: 25 (см. кв.)

Формула площади треугольника по длинам всех сторон

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt{p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)} S = p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c ) ​ ,

A , b , c a, b, c a , b , c - длины сторон треугольника;
p p p - половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p = 2 1 ​ (a + b + c )

Эта формула называется формулой Герона .

Пример

Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).

Решение

A = 3 a=3 a = 3
b = 4 b=4 b = 4
c = 5 c=5 c = 5

Найдем половину периметра p p p :

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac{1}{2}(3+4+5)=\frac{1}{2}\cdot 12=6 p = 2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt{6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6-5)}=\sqrt{36}=6 S = 6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (см. кв.)

Ответ: 6 (см. кв.)

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\beta}\sin{\gamma}}{\sin(\beta+\gamma)} S = 2 a 2 ​ ⋅ sin (β + γ ) sin β sin γ ​ ,

A a a - длина стороны треугольника;
β , γ \beta, \gamma β , γ - углы, прилежащие к стороне a a a .

Пример

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

A = 10 a=10 a = 1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^{\circ} β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^{\circ} γ = 3 0 ∘

По формуле:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac{10^2}{2}\cdot \frac{\sin{30^{\circ}}\sin{30^{\circ}}}{\sin(30^{\circ}+30^{\circ})}=50\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx14.4 S = 2 1 0 2 ​ ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R} S = 4 R a ⋅ b ⋅ c ​ ,

A , b , c a, b, c a , b , c - стороны треугольника;
R R R - радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Пример

Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус R R R окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).

Решение

A = 3 a=3 a = 3
b = 4 b=4 b = 4
c = 5 c=5 c = 5
R = 10 R=10 R = 1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 10}=\frac{60}{40}=1.5 S = 4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (см. кв.)

Ответ: 1.5 (см.кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S = p ⋅ r S=p\cdot r S = p ⋅ r ,

p p p - половина периметра треугольника:

p = a + b + c 2 p=\frac{a+b+c}{2} p = 2 a + b + c ​ ,

a , b , c a, b, c a , b , c - стороны треугольника;
r r r - радиус вписанной в треугольник окружности.

Пример

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

$a=3b\; =\; 4\; b=4b=4c\; =\; 5\; c=5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12 S = 6 ⋅ 2 = 1 2 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha) S = 2 1 ​ ⋅ b ⋅ c ⋅ sin (α ) ,

b , c b, c b , c - стороны треугольника;

α \alpha α - угол между сторонами b b b и c c c .

Пример

Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

$b=5c\; =\; 6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^\{\backslash circ\}\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^{\circ})=7.5 S = 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 7 . 5 (см. кв.)

Ответ: 7.5 (см. кв.)

Треугольник - самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.

Особенности треугольника

Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики - тригонометрии.

Геометрия треугольника

Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.

Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:

• остроугольный - все углы фигуры острые;
• тупоугольный - у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
• прямоугольный - фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
• равнобедренный - треугольник с двумя равными сторонами;
• равносторонний - треугольник со всеми равными сторонами.
• В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.

Площадь треугольника

Площадь - это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:

где a - сторона треугольника, h - его высота.

Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• одну сторону и два угла.

Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

где p - полупериметр треугольника.

Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:

S = a × b × sin(alfa),

где alfa - угол между сторонами a и b.

Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Тротуарная плитка

Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:

Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - числа, которые удовлетворяют . И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.

Школьная задача

В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ

При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.

Заключение

Треугольник - уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.

Формула площади необходима для определения площадь фигуры, которая является вещественнозначной функцией, определённой на некотором классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая 4м условиям:

1. Положительность — Площадь не может быть меньше нуля;
2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. Аддитивность — площадь объединения 2х фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей этих фигур.

Формулы площади геометрических фигур.

Геометрическая фигура	Формула	Чертеж
Результат сложения расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника будут равна его полупериметру.
Сектор круга. Площадь сектора круга равна произведению его дуги на половину радиуса.
Сегмент круга. Чтобы получить площадь сегмента ASB, достаточно из площади сектора AOB вычесть площадь треугольника AOB.	S = 1 / 2 R(s - AС)
Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.
Эллипс . Еще один вариант как вычислить площадь эллипса - через два его радиуса.
Треугольник. Через основание и высоту. Формула площади круга через его радиус и диаметр.
Квадрат . Через его сторону. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Квадрат. Через его диагонали . Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
Правильный многоугольник . Для определения площади правильного многоугольника необходимо разбить его на равные треугольники, которые бы имели общую вершину в центре вписанной окружности.	S= r·p = 1/2 r·n·a

Треугольник - три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, которые их соединяют. Иначе, треугольник - это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.

Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны. Все углы равностороннего треугольника также равны и равняются 60°.

Площадь произвольного треугольника вычисляется по формулам: или

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

Площадь правильного или равностороннего треугольника вычисляется по формулам: или или

Где a ,b ,c - стороны треугольника, h - высота треугольника, y - угол между сторонами, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.