Логико вероятностная модель надежности. Логико-вероятностный метод. электроснабжения с помощью дерева отказов

В ряде случаев объект или систему невозможно представить со­стоящей из параллельно-последовательных соединений. Особенно это от­носится к цифровым электронным информационным системам, в которых для повышения надежности вводятся перекрестные информационные свя­зи. На рис. 9.17 изображена часть структуры системы с перекрестными свя­зями (стрелки показывают возможные направления перемещения информации в системе). Для оценки надежности таких структур действенным оказывается логико-вероятностный метод.

Рис. 9.17 Мостиковая схема подачи топлива;

1-2 –насосы, 3,4,5 – клапаны

Рис. 9.18 Мостиковая схема измерительно-вычислительного комплекса;

1,2 – запоминающее устройство; 3,4 – процессоры; 5 – блок, обеспечивающий двустороннюю передачу цифровых данных.

В методе работоспособное состояние структуры предлагается описы­вать с помощью аппарата математической логики с последующим фор­мальным переходом к вероятности безотказной работы оцениваемой сис­темы или устройства. При этом через логическую переменную x j обозначается событие, заключающееся в том, что данный i -й элемент работоспособен. Формально работоспособное состояние всей системы или объекта отображается логической функцией, называемой функцией работоспособности. Для нахождения этой функции необходимо определить, следуя от входа к выходу структуры системы все пути движения информации и рабочего тела, отвечающему работоспособному состоянию системы. Например, на рис. 9.17. таких путей четыре: путь 1 – , путь 2 - , путь 3 – , путь 4 – .

Зная все пути, отвечающие работоспособному состоянию структуры можно записать в символах алгебры логики в дизъюнктивно – конъюктивной форме функцию работоспосбности (X)/ Например для рис. 9.17 это:

Применяя известные методы минимизации, логическую функцию работоспособности, упрощают и переходят от нее к уравнению работоспособности системы в символах обычной алгебры. Осуществляется такой переход формально с использованием известных соотношений (слева логическая запись, справа алгебраическая):

Вероятность безотказной работы объекта (см. рис. 9.16, 9.17) в целом определяется формальной подстановкой в алгебраическое выражение функции работоспособности вместо переменных значение вероятностей безотказной работы каждого i -ого элемента системы.

Пример. Необходимо найти в общем виде вероятность безотказной работы объектов, структура которых представлена на рис. 9.16 и 9.17. Несмотря на различные элементные базы элементы структуры этих объектов с точки зрения формальной логики идентичны. В связи с этим для наглядности на рис. 9.17 элементы У1, У2 – два одинаковых равнонадежных насоса с вероятностями безотказной работы . Элементы У3, У4 – два равнонадежных процессора с вероятностью безотказной работы . Элемент У5 – переключающий клапан, обеспечивающий двустороннюю подачу рабочего тела (например топлива) на выходе объекта.

Аналогичным образом выглядит структура объекта на рис. 9.17, где элементы У1, У2 два одинаковых равнонадежных запоминающих устройства (ЗУ), с вероятностью безотказной работы . Элементы У3, У4 – два одинаковых равнонадежных процессора с вероятностью безотказной работы . Элемент У5 блок, обеспечивающий двустороннюю передачу цифровых данных. Вероятностью безотказной работы этого блока .

Учитывая (9.36), (9.37), (9.38) можно произвести формальный переход от записи (9.35) к алгебраической форме записи. Так для нахождения логической функции работоспособности объекта возможные пути прохождения информации (рабочего тела) от входа к выходу имеют вид.

ЛВМ возник в результате исследований проблем безопасности сложных систем. С его помощью можно оценить вероятность отказа сложной системы.

ЛВМ относится к аксиоматическим методам принятия решений в условиях стохастической неопределенности. Он позволяет снизить эту неопределенность своим доказательным подходом и результатами экспериментов – вероятностными характеристиками альтернатив.

В пособии ЛВМ рассмотрен на примере решения задачи выбора наиболее надежной информационной системы.

Пусть множество альтернатив – это множество показателей рисков информационных систем (ИС). Требуется найти такую ИС, риск которой минимален.

Под риском системы рассматривается сумма рисков ресурсов, из которых она состоит:

где R i – риск i -го ресурса, n – количество ресурсов. С каждым ресурсом связано множество опасных состояний (ОС), реализация которых приводит к отказу данного ресурса.

В качестве примеров ресурсов ИС могут выступать информационные ресурсы, сервисы, физические или аппаратные ресурсы, программное обеспечение. Одним из примеров информационного ресурса может выступать база данных ИС.

Под риском i-го ресурса понимается сумма рисков, связанных с реализацией опасных состояний данного ресурса:

где r i j – риск реализации j -го опасного состояния i -го ресурса, ; M i – количество опасных состояний i -го ресурса.

Примерами ОС для ресурса «БД» являются нарушение конфиденциальности информации, полная или частичная потеря информации из-за выхода из строя носителя информации, нарушение доступа.

Под риском реализации j-го опасного состояния i-го ресурса понимается произведение вероятности P ij и стоимости потерь C ij от реализации данного опасного состояния ресурса:

.

Таким образом, задачу оценки риска системы можно разбить на следующие этапы:

1. описание структуры ресурсов системы;

2. описание множества опасных состояний ресурсов системы;

3. оценка вероятностей P ij реализации опасных состояний, в том числе, выявление меры влияния угроз на реализацию опасных состояний;

4. оценка стоимости потерь C ij от реализации опасных состояний.

Основные положения логико-вероятностного метода

Логико-вероятностный метод анализа безопасности сложных технических систем был предложен в 70-х годах 20 века
И. А. Рябининым. Основная идея данного метода состоит в сочетании логического и вероятностного подходов при оценке показателей надежности сложных технических, экономических, социальных систем и других систем .

В ЛВМ в качестве базовых используются понятия опасного состояния системы и опасности – способности системы переходить в опасное состояние. Описание опасного состояния системы начинается с составления сценария опасного состояния (ОС), который строится с использованием операций дизъюнкция и конъюнкция над инициирующими условиями и событиями .

В качестве инициирующих условий и событий выступают отказы одного или нескольких элементов системы. Каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k () с двумя возможными состояниями (например, работоспособности/отказа, готовности/неготовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k .

Сценарий является основой для составления логической функции, или функции алгебры логики (ФАЛ), описывающей опасное состояние системы.

Следующим шагом является преобразование функции алгебры логики к вероятностной функции, которая в дальнейшем используется для получения количественной оценки вероятности реализации опасного состояния.

Таким образом, с одной стороны, метод предоставляет механизм для формализации множества опасных состояний системы, а, с другой стороны, – теоретически обоснованный подход к количественной оценке риска системы.

Для системы, состоящей из различных ресурсов, ЛВМ используется с целью получения количественных оценок вероятностей реализации опасных состояний для каждого вида ресурсов. В свою очередь, каждый ресурс в ЛВМ также рассматривается как отдельная система.

Постановка задачи оценки вероятностей реализации опасных состояний ресурса

Дано:

1. Ресурс с номером i , для которого выделены опасные состояния S ij , , где m - число возможных состояний.

2. Структура ОС и вероятности инициирующих событий (угроз) x k , .

Требуется найти:

Вероятности P ij реализации опасных состояний S ij , .

Алгоритм решения

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния S ij .

Шаг 2. Построение функции алгебры логики (ФАЛ) с использованием операций конъюнкция и дизъюнкция на основе сценария опасного состояния S ij .

Шаг 3. Построение вероятностной функции (ВФ) на основе функции алгебры логики.

Шаг 4. Расчет вероятности P ij реализации опасного состояния с помощью вероятностной функции.

Теоретические основы ЛВМ

В настоящее время математическая логика и теория вероятностей объединяются на основе логико-вероятностного исчисления . При этом предполагается, что теория вероятностей позволяет количественно оценивать надежность или безопасность систем, структура которых описывается средствами математической логики.

Основной проблемой в практическом применении ЛВМ является преобразование произвольных ФАЛ к формам перехода к полному замещению (ФППЗ). Для того чтобы сделать это преобразование стандартным и математически строгим, необходимо обратиться к специальному теоретическому аппарату, основные понятия и теоремы которого будут приведены ниже.

Будем полагать, что каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k , () с двумя возможными состояниями (работоспособности/отказа, готовности/не готовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k :

Кроме того, делается предположение, что все события x k являются независимыми в совокупности и что на рассматриваемом интервале времени работы системы исходные параметры законов распределений элементов не изменяются.

Выражение вида называется элементарной конъюнкцией K ранга r . Выражение вида , где – элементарные конъюнкции различных рангов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Если функция записана в ДНФ, причем ранг каждой элементарной конъюнкции равен n , то такая ДНФ называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Выражение вида называется элементарной дизъюнкцией ранга r .

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными , если их произведение равно нулю (пример: и ).

ДНФ называется ортогональной дизъюнктивной нормальной формой (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны.

Бесповторной ДНФ (БДНФ) называется такая ДНФ, в которой каждая логическая переменная встречается ровно один раз.

Правила де Моргана позволяют логическое умножение выразить через отрицание логической суммы инверсий высказываний, а логическую сумму – через отрицание логического произведения инверсных высказывания. В дальнейшем они будут использоваться для приведения ФАЛ к специальному виду:

и

Вероятностной функцией (ВФ) будем называть вероятность истинности ФАЛ:

P (f (x 1 , x 2 , …, x h )=1 )

Функции алгебры логики, допускающие непосредственный переход к вероятностной функции заменой логических переменных вероятностями, а логических операций соответствующими арифметическими операциями, назовем формами перехода к замещению (ФПЗ).

Формами перехода к полному замещению (ФППЗ) называются ФПЗ, в которых производится замещение одновременно всех логических переменных.

Булевой разностью функции по аргументу x k называется

где символом « » обозначена логическая операция «сумма по модулю два».

Функция называется монотонной , если для любых наборов (a 1 , …, a h ) и (b 1 , …, b h ), таких, что , (k=1,2,…,h ) имеет место соотношение f (a 1 , …, a h ) f (b 1 , …, b h ). Далее рассмотрим ряд основных теорем.

Теорема 1. Частная производная от вероятности истинности монотонной ФАЛ по вероятности истинности аргумента x k численно равна вероятности истинности булевой разности этой функции по аргументу x k :

Теорема 2. Вероятность истинности произвольной ФАЛ, представленной в ОДНФ, равна сумме вероятностей истинности всех ортогональных членов этой ФАЛ:

,

где O u – не только элементарные конъюнкции ОДНФ, но и любые ФАЛ, попарно ортогональные.

Теорема 3. Дизъюнкция ортогональных бесповторных форм в базисе конъюнкция-отрицание является формой перехода к полному замещению.

В настоящее время известно несколько ФППЗ – это совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), ортогональная дизъюнктивная нормальная форма (ОДНФ) и бесповторные ФАЛ (БФАЛ) в базисе «конъюнкция-отрицание».

Если ФАЛ представлена в ФППЗ, то переход к вероятностной функции осуществляется по следующим правилам:

1. Каждая логическая переменная в ФППЗ заменяется вероятностью ее равенства единице:

, ;

2. Отрицание функции заменяется разностью между единицей и вероятностью равенства этой функции единице;

3. Операции логического умножения и сложения заменяются операциями арифметического умножения и сложения.

Составление сценария опасного состояния

Составления сценария опасного состояния ИС можно представить в виде следующей последовательности шагов:

1. выделение конечного события – опасного состояния (отказа),

2. выделение промежуточных событий, приводящих к реализации опасного состояния и получаемых как комбинация двух или более инициирующих событий,

3. выделение инициирующих событий-угроз.

Для представления опасного состояния используется дерево событий или отказов.

На рис. 5.2 представлен пример сценария опасного состояния в виде дерева событий.

Рис. 5.2. Пример дерева событий для описания опасного состояния системы

Построение функции алгебры логики

С помощью дерева событий составляется функция алгебры логики, описывающая условия перехода системы в опасное состояние.

Для описания условий перехода системы в опасное состояние используется понятие «кратчайший путь опасного функционирования » (КПОФ), под которым понимается конъюнкция минимального набора элементов системы, обеспечивающих вместе переход системы в опасное состояние:

,

где K wl – множество номеров переменных, соответствующих данному пути.

Условие перехода системы в опасное состояние можно представить в виде дизъюнкции всех имеющихся КПОФ:

.

Пример. Пусть дерево событий имеет вид, представленный на рис. 5.2.

Тогда КПОФ являются: , , , .

Условие перехода системы в опасное состояние имеет вид:

Построение вероятностной функции

На предыдущем этапе была получена ФАЛ , описывающая опасное состояние системы как дизъюнкцию всех КПОФ. Следующим шагом является преобразование ФАЛ к ФППЗ – СДНФ, ОДНФ или бесповторной ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание (БФАЛ).

Построение вероятностной функции на основе ФППЗ осуществляется согласно правилам, описанным выше. Результатом данного этапа является вероятностная функция

Расчет оценки вероятности реализации опасного состояния

Подставляя значения в ВФ, полученную на предыдущем этапе, получаем оценку вероятности реализации опасного состояния P ij .

Пример

Рассмотрим пример применения ЛВМ для оценки риска реализации опасного состояния «Нарушение конфиденциальности базы данных ИС (БД ИС)».

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния ресурса (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Сценарий ОС «Нарушение конфиденциальности БД ИС»

Шаг 2. Построение функции алгебры логики.Согласно описанному сценарию, логическая функция принимает вид:

F=X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 12 X 13 X 14 X 15

Лекция 9

Тема: Оценка надежности методом путей и сечений. Логико-вероятностные методы анализа сложных систем

План

1. Метод минимальных путей и сечений для расчета показателей надежности систем с разветвленной структурой.

2. Основные определения и понятия логико-вероятностных методов анализа и оценка надежности ИС.

3. Сущность метода кратчайшего пути успешного функционирования и минимального сечения отказов.

4. Расчет функции работоспособности и функции отказа для мостиковой структуры.

5. Области применения этих методов. Статистическое моделирование для оценки надежности ИС.

Ключевые слова

Показатели надежности, разветвленная структура ИС, минимальных путь, сечение, логико-вероятностный метод, мостиковая схема, функция работоспособности, кратчайший путь успешного функционирования, минимальное сечение отказов, вероятность безотказной работы, функция алгебры логики, структурная схема расчета надежности.

Встречаются структуры и способы организации ИС, когда резервирование имеет место, но его нельзя представить по схеме последовательного и параллельного включения элементов или подсистем. Для анализа надежности таких структур используют метод минимальных путей и сечений, который относится к приближенным методам и позволяет определить граничные оценки надежности сверху и снизу .

Путем в сложной структуре называется последовательность элементов, обеспечивающих функционирование (работоспособность) системы.

Сечением называется совокупность элементов, отказы которых приводят к отказу системы.

Вероятность безотказной работы последовательно включенных параллельных цепей дает верхнюю оценку для ВБР системы данной структуры. Вероятность безотказной работы параллельно включенных последовательных цепей из элементов путей дает нижнию оценку для ВБР системы данной структуры. Фактическое значение показателя надежности находится между верхней и нижней границами.

Рассмотрим мостиковую схему соединения элементов системы, состоящей из пяти элементов (рис. 1).

Рис. 1. Мостиковая схема соединения элементов (подсист.)

Здесь набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в переделах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Набор минимальных путей для мостиковой схемы представлен на рис. 2. Пути образуют элемента 1, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.

Рис. 2. Набор минимальных путей.

Для всех элементов схемы известны ВБР Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , Р 5 и соответствующие им вероятности отказа типа «обрыв» Q 1 ÷ Q 5 , необходимо определить вероятность наличие цепи между точками а и в . Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху.

Р в = 1- Q 13 ∙ Q 24 ∙ Q 154 ∙ Q 253 = 1- (1-Р 1 Р 3)(1-Р 2 Р 4)(1-Р 1 Р 5 Р 4)(1-Р 2 Р 5 Р 3)

При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы.

При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы.

Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В переделах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.

Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приведена на рис. 3. Так как один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу.

P н = P 12 ∙ P 34 ∙ P 154 ∙ P 253 = (1- q 1 q 2 )∙ (1- q 3 q 4 )∙ (1- q 1 q 5 q 4 )∙ (1- q 2 q 5 q 3 )

Рис. 3. Набор минимальных сечений

Вероятность безотказной работы системы Р с оценивается тогда по двойному неравенству

Р н ≤Р с ≤Р в

Таким образом, данный метод позволяет представить систему с произвольной структурой в виде параллельных и последовательных цепей. (При составлении минимальных путей и сечений любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным или последовательно-параллельным соединением элементов). Метод прост, но требует точного определения всех путей и сечений. Он получил широкое применение при расчете надежности подсистем АСУТП, особенно применительно к системам защиты и логического управления. Его используют в системах регулирования мощности реактора, предусматривающая возможность перехода от одной неисправной цепи регулирования к другой, находящийся в резервном состоянии.

Логико-вероятностные методы анализа надежности систем

Сущность логико-вероятностных методов заключается в использовании функций алгебры логики (ФАЛ) для аналитической записи условий работоспособности системы и переходе от ФАЛ к вероятностным функциям (ВФ), объективно выражающим безотказность системы. Т.е. с помощью логико-вероятностного метода можно описать схемы ИС для расчета надежности с помощью аппарата математической логики с последующим использованием теории вероятностей при определении показателей надежности .

Система может находится только в двух состояниях: в состоянии полной работоспособности (у = 1) и в состоянии полного отказа (у = 0). При этом предполагается, что действие системы детерминировано зависит от действия ее элементов, т.е. у является функцией х 1 , х 2 , … , x i , … , x n . Элементы могут находиться также только в двух несовместных состояниях: полной работоспособности (x i = 1) и полного отказа (x i = 0).

Функцию алгебры логики, связывающую состояние элементов с состоянием системы у (х 1 , х 2 ,…, x n ) называют функцией работоспособности системы F (y ) = 1.

Для оценки работоспособных состояний системы используют два понятия:

1) кратчайшего пути успешного функционирования (КПУФ), который представляет собой такую конъюнкцию её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив функционирования системы. Такая конъюнкция записывается в виде следующей ФАЛ:

где i – принадлежит множеству номеров , соответствующих данному
l -му пути.

Другими словами, КПУФ системы описывает одно из её возможных работоспособных состояний, которое определяется минимальным набором работоспособных элементов, абсолютно необходимых для выполнения заданных для системы функций.

2) минимального сечения отказов системы (МСО) представляющего собой такую конъюнкцию из отрицаний её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив условия неработоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей ФАЛ:

где означает множество номеров, соответствующих данному сечению.

Другими словами, МСО системы описывает один из возможных способов нарушения работоспособности системы с помощью минимального набора отказавших элементов.

Каждая избыточная система имеет конечное число кратчайших путей (l = 1, 2,…, m ) и минимальных сечений (j = 1, 2,…, m ).

Используя эти понятия можно записать условия работоспособности системы.

1) в виде дизъюнкции всех имеющихся кратчайших путей успешного функционирования.

;

2) в виде конъюнкции отрицаний всех МСО

;

Таким образом, условия работоспособности реальной системы можно представить в виде условий работоспособности некоторой эквивалентной (в смысле надежности) системы, структура которой представляет параллельное соединение кратчайших путей успешного функционирования, или другой эквивалентной системы структура которой представляет соединение отрицаний минимальных сечений.

Например, для мостиковой структуры ИС функция работоспособности системы с помощью КПУФ запишется следующим образом:

;

функцию работоспособности этой же системы через МСО можно записать в следующем виде:

При небольшом числе элементов (не более 20) может быть использован табличный метод расчета надежности, который основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность безотказной работы системы можно вычислить по формуле (через вероятностную функцию вида):

Логико-вероятностные методы (методы: разрезания, табличный, ортогонализации) широко применяют в диагностических процедурах при построении деревьев отказов и определении базисных (исходных) событий, вызывающих отказ системы.

Для надежности компьютерной системы со сложной структурой резервирования может быть использован метод статистического моделирования.

Идея метода заключается в генерировании логических переменных x i c заданной вероятностью pi возникновения единицы, которые подставляются в логическую структурную функцию моделируемой системы в произвольной форме и затем вычисляется результат.

Совокупность х 1 , х 2 ,…, х n независимых случайных событий, образующих полную группу, характеризуется вероятностями появления каждого из событий p (x i ), причем .

Для моделирования этой совокупности случайных событий используется генератор случайных чисел, равномерно распределенных в интервале

Значение p i выбирается равным вероятности безотказной работы i -й подсистемы. При этом процесс вычисления повторяется N 0 раз с новыми, независимыми случайными значениями аргументов x i (при этом подсчитывается количество N (t ) единичных значений логический структурной функции). Отношение N (t )/ N 0 является статистической оценкой вероятности безотказной работы

где N (t ) – количество безотказно работающих до момента времени t объектов, при их исходном количестве.

Генерирование случайных логических переменных x i с заданной вероятностью появления единицы р i осуществляется на основании равномерно распределенных в интервале случайных величин, получаемых с помощью стандартных программ, входящих в математическое обеспечение всех современных компьютеров.

Контрольные вопросы и задания

1. Назовите метод оценки надежности ИС, где вероятность безотказной работы системы определяется как Р н ≤Р с ≤Р в .

2. Для расчета надежности каких систем используется метод путей и сечений?

3. С помощью какого метода можно оценить надежность устройств мостикового типа?

4. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны?

5. Структурно представьте мостиковую схему набором минимальных путей и сечений.

6. Дайте определение минимального пути и минимального сечения.

7. Запишите функцию работоспособности для устройства с разветвленной структурой?

8. Что называется функцией работоспособности?

9. Что такое кратчайший путь успешного функционирования (КПУФ). Запишите условия работоспособности в виде КПУФ.

10. Где используется логико-вероятностный метод оценки надежности?

Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ОБЩЕГО ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНОГО МЕТОДА

Аннотация. Приведены результаты систематизации данных о существующих и новых научных разработках вопросов детерминированного моделирования в общем логико-вероятностном методе (ОЛВМ), теории и технологии автоматизированного структурно-логического моделирования (АСМ).

Ключевые слова . Общий логико-вероятностный метод, схема функциональной целостности, вероятностные модели, детерминированное моделирование.

Введение. Исторически сложилось так, что все логико-вероятностные методы разрабатывались и использовались в целях моделирования и расчета вероятностных показателей различных свойств системных объектов (надежность, стойкость, живучесть, устойчивость, безопасность, технический риск, ожидаемый ущерб, эффективность). Однако в последние годы, наряду с дальнейшим расширением круга задач вероятностного анализа, все более востребованными становятся вопросы разработки методов и программных средств детерминированного моделирования структурно сложных систем различных видов, классов и назначения. В настоящем сообщении приведены результаты систематизации данных о существующих и новых научных и технологических разработках вопросов детерминированного моделирования в рамках общего логико-вероятностного метода (ОЛВМ) , теории и технологии автоматизированного структурно-логического моделирования (АСМ) .

1. Детерминированные методы аналитического ОЛВМ.

Следует отметить, что все логико-вероятностные методы системного анализа имеют четко выраженные детерминированные составляющие на всех основных этапах моделирования. На этапе постановки задач к детерминированным относятся все виды графических средств и методики построения структурных моделей исследуемых свойств – деревья отказов, деревья событий, блок-схемы, графы связности, схемы функциональной целостности и др. На следующих этапах логико-вероятностного моделирования детерминированными являются методы, алгоритмы и программы построения на основе заданной структурной схемы логических и вероятностных (точных или приближенных) математических моделей исследуемых свойств системы. На завершающем этапе ОЛВМ детерминированными выступают методы и процедуры вычислений вероятностных показателей свойств систем, на основе построенных точных или приближенных аналитических вероятностных функциях.

В рамках существующих отечественных и зарубежных типовых монотонных логико-вероятностных методов системного анализа были разработаны и успешно применяются различные точные и приближенные средства (методы, алгоритмы и программы) построения на основе деревьев отказов, блок-схем или графов связности детерминированных логических функций работоспособности систем (ФРС) и многочленов вероятностных функций (ВФ).

В ОЛВМ эти виды аналитических моделей строятся на основе логически универсального графического аппарата структурных схем функциональной целостности (СФЦ) . Детерминированные ФРС и ВФ определяются в ОЛВМ для всех видов монотонных и немонотонных моделей исследуемых свойств систем большой размерности и высокой структурной сложности . Для построения логических ФРС в ОЛВМ был разработан универсальный графоаналитический метод (УГМ) , а для построения многочленов ВФ – комбинированный метод . Эти методы доведены до программной реализации и используются в промышленных образцах программных комплексов автоматизированного структурно-логического моделирования систем .

Для иллюстрации детерминированного аналитического ОЛВМ рассматривается простой тестовый пример анализа типовой мостиковой системы . В левой части рис.1 изображена СФЦ мостиковой системы, введенная в программный комплекс (ПК) АСМ 2001, и соответствующая ей полная система логических уравнений. В примере решены три детерминированные задачи – построения логической ФРС, построения многочлена ВФ и аналитического расчета вероятности реализации критерия частичного отказа (частичной работоспособности) мостиковой системы (выходной элемент 3 выполнил, а выходной элемент 4 не выполнил свою функцию).

Рис.1 Тестовый пример применения детерминированного аналитического ОЛВМ

В правой части рис.1 приведены результаты применения УГМ для получения логической ФРС и комбинированного метода для построения многочлена ВФ. Аналитический расчет вероятности частичной работоспособности мостиковой системы выполнен для случая, когда вероятности всех элементарных событий равны .

В настоящее время продолжаются работы по дальнейшему совершенствованию методов детерминированного аналитического ОЛВМ. Вместе с тем, в последние годы произошло становление и развитие ряда новых специальных направлений детерминированного ОЛВМ анализа систем.

2. Детерминированные методы статистического ОЛВМ.

В статистическом логико-вероятностном моделировании детерминированными являются средства построения имитационных моделей исследуемых свойств структурно-сложных систем. На основе сформированных имитационных моделей методами статистических испытаний определяются количественные оценки вероятностных показателей исследуемых свойств системы. Первый логико-статистический метод (ЛСМ), разработанный И.А.Рябининым , в качестве имитационной модели использует логическую ФРС исследуемой системы. В ОЛВМ и ПК АСМ реализован другой – итерационный логико-статистический метод (ИЛСМ), разработанный Алексеевым А.О . ИЛСМ в качестве детерминированной имитационной модели использует непосредственно СФЦ исследуемой системы, которая представляется в форме монотонной или немонотонной системы логических уравнений. Это позволяет в статистическом ОЛВМ вообще не выполнять построения детерминированных аналитических моделей (ни ФРС, ни ВФ).

На рис.2 приведено окно автоматизированного моделирования ПК АСМ 2001 с результатами расчетов разными способами вероятностных показателей частичной работоспособности рассмотренной выше мостиковой системы (см. рис.1).

Рис.2 Результаты применения детерминированного метода статистического ОЛВМ

Из рис.2 следует, что с помощью детерминированного ОЛВМ автоматического формирования имитационной модели и выполнения на ее основе статистических расчетов вероятности частичной работоспособности мостиковой системы получен результат

Этот результат статистического ОЛВМ вполне согласуется с полученным

Метод основан на математическом аппарате алгебры логики. Расчет надежности системы управления предполагает определение связи между сложным событием (отказ системы) и событиями, от которых оно зависит (отказы элементов системы). Следовательно, расчеты на надежность основаны на проведении операций с событиями и высказываниями, в качестве которых принимаются утверждения о работоспособности или отказе элемента (системы). Каждый элемент системы представляется логической переменной, принимающей значение 1 или 0.

События и высказывания при помощи операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания объединяются в логические уравнения, соответствующие условию работоспособности системы. Составляется логическая функция работоспособности. Расчет, основанный на непосредственном использовании логических уравнений, называется логико-вероятностным и выполняется в семь этапов:

1. Словесная формулировка условий работоспособности объекта. Описывается зависимость работоспособности информационной системы от состояния ее отдельных элементов.

2. Составление логической функции работоспособности. Представляет собой логическое уравнение, соответствующее условию работоспособности системы управления

которое выражено в дизъюнктивной форме, например:

где x i – условие работоспособности i- го элемента Fл; X i = 1 – работоспособное состояние, X i = 0 – неработоспособное состояние.

3. Приведение логической функции работоспособности F Л к ортогональной бесповторной форме F ЛО. Сложную логическую функцию работоспособности необходимо привести к ортогональной бесповторной форме.

Функция вида (2.2) называется ортогональной, если все ее члены D i попарно ортогональны (то есть, их произведение равно нулю), и бесповторной, если каждый ее член D i состоит из букв х i , с разными номерами (то есть отсутствуют повторяющиеся аргументы), например: произведение элементарных конъюнкций х 1 , х 2 , x 4 и х 3 , x 2 равно нулю, так как одна из них содержит x 2 , а другая – x 2 , следовательно, они ортогональны; D 1 = x 1 ×x 2 ×x 2 , где x 2 и x 2 имеют один и тот же номер, поэтому член D 1 не является бесповторным.

– ортогональная бесповторная форма;

– ортогональная, но не бесповторная форма.

Функцию F л можно преобразовать к ортогональной бесповторной форме F ло, используя законы и правила преобразования сложных высказываний. При расчетах наиболее употребительны правила:

1) x 1 ×x 2 = x 2 ×x 1 ;

4. Арифметизация F ло. По найденной ортогональной бесповторной логической функции работоспособности F ЛО определяется арифметическая функция F a (2.3).

где A i – арифметическая форма членов D i функции F ло.
Арифметизация членов D i , в общем виде содержащих операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, осуществляется заменой логических операций арифметическими по правилам:

5. Определение вероятности безотказной работы системы.
Вероятность безотказной работы системы устанавливается как вероятность истинности логической функции работоспособности, представленной в ортогональной бесповторной форме, и вычисляется как сумма вероятностей истинности всех ортогональных членов этой функции алгебры логики. Все события (высказывания) заменяются их вероятностями (вероятностями безотказной работы соответствующих элементов).